Элемент. математика Примеры

$\frac{9 y^{4} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

$\frac{9 {(y^{2})}^{2} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Этап 1.2

Пусть $u = y^{2}$ . Подставим $u$ вместо $y^{2}$ для всех.

$\frac{9 u^{2} + 14 u - 8}{3 y + 2}$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 8 = - 72$ , а сумма — $b = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 u$ .

$\frac{9 u^{2} + 14 (u) - 8}{3 y + 2}$

Этап 1.3.1.2

Запишем $14$ как $- 4$ плюс $18$

$\frac{9 u^{2} + (- 4 + 18) u - 8}{3 y + 2}$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 u^{2} - 4 u + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(9 u^{2} - 4 u) + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{u (9 u - 4) + 2 (9 u - 4)}{3 y + 2}$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u - 4$ .

$\frac{(9 u - 4) (u + 2)}{3 y + 2}$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{(9 y^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Этап 1.5

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{({(3 y)}^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Этап 1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Этап 1.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 y$ и $b = 2$ .

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Этап 2

Сократим общий множитель $3 y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Этап 2.2

Разделим $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ на $1$ .

$(3 y - 2) (y^{2} + 2)$

Этап 3

Развернем $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y (y^{2} + 2) - 2 (y^{2} + 2)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 (y^{2} + 2)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перенесем $y^{2}$ .

$3 (y^{2} y) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Этап 4.1.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 (y^{2} y^{1}) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Этап 4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{2 + 1} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Этап 4.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$3 y^{3} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Этап 4.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 4$

Этап 4.2

Перенесем $6 y$ .

$3 y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 4$